2016年　京都大学　理系 整数問題

さて、表題の件です。

以下の記事で「大学入試を意識した問題」と書きました。

大学入試では条件を整理して、範囲を絞り込み、実験によって解を導き出す整数問題が良く出題されます。

以下　2016年度　京都大学　理系　第二問より引用

素数 p,q を用いて　p^q + q^p で表される素数を全て求めよ。

※^ は＊乗の意

引用終わり

中学生でも解ける問題だと思いますので是非解いてみて下さいね。

下の方にSharari-manの解答を載せておきます。

■範囲の絞り込み

pとqは素数ですから　pとqは共に「2以上の整数」である。

また、p^q+q^pはpとqの最小値2を代入すると

p=2,q=2より　2^2+2^2=8

よって　p^q+q^p≥8

【偶奇による絞り込み】

p=偶数　q=偶数の場合

p^q+q^p＝偶数　となり　偶数の素数は２のみゆえに不適

p=奇数　q=奇数の場合

p^q＝奇数　q^p=奇数　奇数＋奇数＝偶数　となり偶数の素数は2のみゆえに不適

p=偶数　q=奇数　あるいは　p=奇数　q=偶数　の場合

p=偶数　q=奇数
p^q=偶数　q^p＝奇数　p^q+q^p＝奇数　となり素数の可能性がある。
p=奇数　q=偶数の場合はも同様に素数の可能性がある。

素数の偶数は？
素数の偶数は2のみです。
よって上の関係は
p=2 q=奇数、p=奇数 q=2 の場合のみ素数の可能性がある

と言い換える事が出来ます。

以上の内容をまとめると以下のようです。

p=2　q=奇数、p=奇数 q=2 のいずれかの場合のみである。
2^q+q^2≧8 (p=2)
p^2+2^p≧8 (q=2)
qは奇数の素数だから q≧3
対称性から　以下では　p=2 の場合のみを考える。

ここから倍数判定で絞り込んでいくのが最も早いでしょう。

【3の倍数判定】
2^q (q≧3)を判定していきます。
2を3で割った時の余りは　2です。これは合同式では　-1 と表記出来ます。
2≡-1 (mod3)
よって
2×2≡-1×-1=1（mod3）
2×2×2≡-1×-1×-1＝-1（mod3）
となります。
qは奇数ですから以下のように言えます。
2^q ≡ -1 (mod3)

次にq^2を判定します。
qを3で割った場合の余りを考えます。
q≡0、q≡±1
のいずれかです。
※ちなみにmod3 は　≡0 ≡±1 となり非常に使い易いので良く出てきます。

よって q^2 は　≡0^2 、≡±1^2 のいずれかですから
q^2≡0 (mod3)
q^2≡1 (mod3)
という事が分かります。

次に　2^q+q^2　を判定します。
2^q ≡ -1 (mod3)
q^2≡0 (mod3) q^2≡1 (mod3)のいずれか
ですから
q^2≡0 (mod3) の場合
2^q + q^2 ≡　-1 + 0 ＝-1(mod3)
q^2≡1 (mod3)の場合
2^q + q^2 ≡　-1 + 1 ＝0(mod3)

である事が分かります。
q^2≡1 (mod3)の場合において　2^q + q^2 ≡0(mod3) ですから、3で割り切れるということです。
3で割り切れる素数は3のみですが、2^q + q^2≧8 のため不適。
よって、q^2≡1 (mod3)の場合、2^q + q^2 は素数ではない。

よって　q^2≡0 (mod3) の場合 のみ　2^q + q^2＝素数　となる可能性がある事が分かる。

さて、ここで　q^2≡0(mod3) となるとなるqを考えると
q=3 しかない事が分かります。
q^2 ≡0(mod3)　ですから　q ≡ 0(mod3)　しかありえないからです。
q≡0 (mod3) となる素数は3以外ありませんから　q=3 が確定します。

p=2、q=3を　p^q＋q^pに代入すれば　2^3 + 3^2 =17　となる。

以上の事から　

p^q + q^p で表される素数は　17　のみである。

整数問題は親子で楽しく学べる数学の問題ではないかと思います。
中学レベルの知識で解ける問題も多いですからね。
今回の問題では　mod　を使っていますが、 modを使わずとも、算数的に「余りの規則性」に注目して解けば同様の解答になります。

ぜひ、親子で一緒に学んでみて下さいね。

我が家の学習事例が少しでも家庭学習に取組む皆様の御参考になりましたら望外の喜びです。

ではまた！