整数問題　京都大学文系2021年、京都大学理系2022年

さて、久しぶりに大学入試数学を。

京都大学2021年文系と2022年の理系数学の１問です。

問題

【１】京都大学2021年 文系数学　大問５より引用

pが素数ならば p^4+14 は素数でないことを示せ.

引用終わり

【２】京都大学2022年　理系数学　大問３より引用

nを自然数とする。３つの整数　n^2＋2、n^4+2、n^6＋2の最大公約数Anを求めよ。

引用終わり

さて、京都大学らしい問題です。

是非、時間を見つけて解いてみて下さい。

Musukoや道場の6年生が解ける程度の難易度ですから頭の体操に丁度良いレベル感です。

【１】はかなり簡単ですが、色々な解き方が存在し楽しめる問題です。

Sharari-manの解答は後日掲載致します。

【１】のSharari-man解答

【１】

【思考の流れ】
証明するとすれば‥‥
①p^4＋14が合成数である事を証明する
②特定の数で割り切れてしまう事実を証明する

あたりがパッと思いつきます。

とりあえず実験をしてみます。

p＝２ならば　2^4+14＝30
p＝３ならば　3^4＋14＝95
p＝５ならば　5^4+14＝639
p＝７ならば　7^4+14＝2415

どうやら p=3以外は3の倍数になりそうだ‥‥
どうやら p＝5以外は5の倍数になりそうだ‥‥

と考えます。

ここから、合同式あるいはフェルマーの小定理が使えそうだな‥‥とSharari-manは考えます。

【解法①】mod3で解く

p≡0 (mod3)　⇒ p^2≡0(mod3)　⇒p^4≡0(mod3)
p≡1 (mod3)　⇒ p^2≡1(mod3)　⇒p^4≡1(mod3)
p≡2 (mod3)　⇒ p^2≡1(mod3)　⇒p^4≡1(mod3)
また、p≡0(mod3) となる素数は p=3のみである。

p≠3の時
p^4+14≡1+2＝0（mod3）
p^4+14は3の倍数であるから素数ではない。

p=3の時
p^4+14＝81+14＝95＝5×19
p^4+14は素数ではない。

よって題意は示された。

【解法②】mod5で解く

mod3の時と同様の流れで解く事が出来ます。
p≡0 (mod5)　⇒ p^2≡0(mod5)　⇒p^4≡0(mod5)
p≡1 (mod5)　⇒ p^2≡1(mod5)　⇒p^4≡1(mod5)
p≡2 (mod5)　⇒ p^2≡-1(mod5)　⇒p^4≡1(mod5)
p≡3 (mod5)　⇒ p^2≡-1(mod5)　⇒p^4≡1(mod5)
p≡4 (mod5)　⇒ p^2≡1(mod5)　⇒p^4≡1(mod5)

ちなみに 法を5として p^2 が±1になる性質を ±1は法を５として平方剰余である　と言います。

p≡0(mod5)となる素数はp=5のみである。

p≠5の時
p^4+14≡1+2＝0（mod5）
p^4+14は5の倍数であるから素数ではない。

p=5の時
p^4+14=625+14＝639＝3^2×71
p^4+14は素数ではない。

よって題意は示された。

【解法③】フェルマーの小定理で解く

フェルマーの小定理とは以下のような定理です。
p が素数で，a が p の倍数でない正の整数のとき
a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

数学オリンピックなどでも良く使われる定理です。
今回の問題に適用するための考え方として　無理やり(p-1)を作る　という事が重要です。

p^4＋14＝p^(5-1)＋14　と式変形します。
^(5-1)の5は素数でありp≠5の時、pは5の倍数ではない。

よってフェルマーの小定理より
p≠5の時
p^(5-1)≡1(mod5)
また、14≡4(mod5) であるから
p^(5-1)+14≡0(mod5)
となり p^4+14は素数ではない。

p=5の時
p^4+14=625+14＝639＝3^2×71
p^4+14は素数ではない。

よって題意は示された。

このフェルマーの小定理の使い方は割と色々なケースで使えますので覚えておいて損はありません。

【解法④】式変形で解く

p=3の時
p^4+14＝81+14＝95＝5×19
p^4+14は素数ではない。

p=3以外の素数を 3n±1とおく（nは1以上の整数）
※3n±1は必ず素数にはならないが、3以外の素数を包含した整数である

p≠3の時
p^4+14＝ (3n±1)^4＋14
＝(3n±1)^2 * (3n±1)^2 +14
= (9n^2 ± 6n + 1) * (9n^2 ± 6n + 1)+14
= 81n^4 ± 108n^3 + 54n^2 ± 12n + 15
＝3(27n^4+36n^3+18n^2+4n+5)
よってp^4+14は素数ではない

よって題意は示された。

3以外の素数を 3n±1と置く手法と式変形でも答えに辿り着けます。

【解法⑤】算数で解く

素数を並べてみる

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

1の位が2の素数は２しかありません（偶数だから割り切れる）
1の位が5の素数は5しかありません（5で割り切れる）
1の位が0の素数はありません（5で割り切れる）
1の位が4、6、8の素数はありません（2で割り切れる）
その他の素数の1の位は１，３，７，９

p^4の１の位はpの１の位を4乗した数字の１の位になります。
だから

1^4＝1
3^4＝81
7^4＝2401
9^4＝6561
だから
2と5以外の素数の4乗は必ず1の位が１になる。

だから
p^4+14　の１の位は必ず５になり、5で割り切れるから素数ではありません。

あとは p=2、P＝5の時を計算して確認します。
p＝２ならば　2^4+14＝30=2×3×5
p＝５ならば　5^4+14＝639＝3^2×71
だから素数ではありません。

よって題意は示されました。

【解法⑥】　連続する偶数の性質に着目して解く

(p-3)(p-1)(p+1)(p+3)=p^4-10p^2+9　だから
p^4+14＝(p-3)(p-1)(p+1)(p+3)+10p^2+5
p≧3 の素数とすると
p-3、p-1、p+1、p+3は連続する偶数である。

連続する偶数の1の位に注目する。
組合せとして考えられるのは
0、2、4、6　⇒総積の1の位は0
2、4、6、8　⇒総積の1の位は4
4、6、8、0　⇒総積の1の位は0
6、8、0、2　⇒総積の1の位は0
8、0、2、4　⇒総積の1の位は0
の5通り。

p-3、p-1、p+1、p+3　の1の位が　2、4、6、8の組み合わせになるためには (p-3)の1の位が2でなければならない。
つまり pの1の位が5でなければならない。

そのような素数pは　p=5以外にない。

p≠2、p≠5の時
(p-3)(p-1)(p+1)(p+3)の1の位は必ず0になる。
10p^2の1の位は必ず0になる。
よって
p^4+14＝(p-3)(p-1)(p+1)(p+3)+10p^2+5
の1の位は必ず5になる。
またp^4+14＞5であるから　p^4+14は素数ではない。

p=2の時
p^4+14＝16+14＝30＝2×3×5
p^4+14は素数ではない。

p=5の時
p^4+14=625+14＝639＝3^2×71
p^4+14は素数ではない。

よって題意は示された。

【1】の感想

さて、6パターンほど解法を提示してみました。
如何でしょうか？
シンプルで簡単な問題ですが、このように様々な解き方をしてみる事で理解が深まると考えています。

是非、皆様も『解けた！』と喜ぶだけでなく、『他に面白い方法はないかな？』という探求心を持って問題に取り組んでみて頂けましたら。

【２】のSharari-man解答

数学を学んでいる子供達にも理解しやすいように、やや解説多めです。

さて、最大公約数と受験数学で出てくれば主に以下のパターンでしょうか。

□ユークリッドの互除法を利用する
□最大公約数と最小公倍数に注目する方法

まずは実験であたりを付けてみましょう。

どうやらAnは6の約数になりそうです。

とすればユークリッドの互除法を用いて　‥‥‥+6　の形になる事が予想されます。

n^4+2=(n^2+2)(n^2−2)+6‥‥①
n^6+2=(n^2+2)(n^4−2n^2+4)−6‥‥②

となります。①②より　Anは　n^2＋2と6の最大公約数に等しい。

• 補足
• ①⇒n^4+2とn^2+2 の最大公約数は　n^2+2と6の最大公約数に等しい
• ②⇒n^6+2とn^2+2 の最大公約数は　n^2+2と6の最大公約数に等しい
• n^4+2とn^6+2は　は共に　n^2+2に対して、n^2+2と6の最大公約数に等しい。
• だからAnはn^2+2と6の最大公約数に等しい。

ゆえにn^2+2と6の最大公約数を求めれば良い。

6との最大公約数を求めれば良いので mod6で考えれば都合が良さそうです。
なぜなら、n^2+2 を6で割った余りは　ユークリッドの互除法より　n^2+2と6と6と余りの最大公約数に等しいからです。
つまり　n^2+2≡a(mod6)　の場合　aと6の最大公約数は n^2+2と6の最大公約数と等しいという事です。

■補足■
n^2+2≡a(mod6)
この合同式は　kを0以上の整数とすれば
n^2+2= 6k + a
と書き換える事が出来ます。この形はユークリッドの互除法の形に等しいですから
n^2+2と6の最大公約数は　6とaの最大公約数に等しい　という事です。

nを法を6とした時の値で場合分けして考えます。
この時、n^2は平方数ですから　余りを 0,1,2,3,4,5ではなく　0、±1、±2、3　と考える事で効率良く作業が出来ます。
※n^2の場合を評価するのだから、nの場合分けは±の形で分けておくと場合分けの数が少なく済みます。

1)　n≡0 (mod6)の時
n^2≡0(mod6)
2≡2(mod6)
n^2+2≡2(mod6)
よって　An＝2
※6と2の最大公約数は2 と暗算して　An＝2にしています。
以降は2の部分は常に同じですから割愛します。

2)　n≡±1 (mod6)の時
n^2≡1(mod6)
n^2+2≡3(mod6)
よって　An＝3

3)　n≡±2 (mod6)の時
n^2≡4(mod6)
n^2+2≡0(mod6)
よって　An＝6
※この場合、余りが0 つまり6で割り切れたという事ですから、6で割り切れる数と6の最大公約数は6ですから、An＝6になります。

4)　n≡3 (mod6)の時
n^2≡3(mod6)
n^2+2≡5(mod6)
よって　An＝1

最後に最初に実験した内容と合致しているかを確認しましょう。
計算ミスによる間違いを防止するためです。

以上が解答となります。

恐らく、この手法が作問者の想定解答でしょうか。
高校範囲で普通に解けば、このような解答が多数派でしょう。

さて、後日別解を追記致します。
急いで書き上げましたので誤記、抜け等があるやもしれませんが後日修正しておきます。

本日はここまで。

我が家の学習事例が少しでも家庭学習に取組む皆様の御参考になりましたら望外の喜びです。

ではまた！